數學教育示例--「首 n 個自然數之和、平方和及立方和」
課程簡介：
數學是一種思考方式，也是一種智力活動。它既可作為一種溝通的有效途徑，也可作為一種學習其他學科的工具。具數學潛質的資優學生未必能滿足於一般的數學學習模式和內容。他們需要更具彈性的思考空間和更多變化的考驗，以發揮他們過人的才華。另一方面他們又需要更多人際交往的培育，以促進其個人成長。一些富挑戰性的數學活動，往往能讓這些資優學生運用他們的知識及思考能力去探究及發現問題，培育與發揮他們的高層次思維技巧。教師考慮到這些資優學生的學習需要，於是設計了這個名為「首n個自然數之和、平方和及立方和」的抽離式（數學教育）增益課程。教師因應初中學生對排列和規律的濃厚興趣，在第三學習階段（中一至中三）的「觀察規律及表達通則」課題內，引導學生綜合運用規律、通則和代數關係式等概念，從協作解難的過程中推敲出「首n個自然數之和」的公式、「首 n 個自然數之平方和」的公式和「首 n 個自然數之立方和」的公式及其應用，從而領悟較高層次的數學知識。以上三題公式是第四學習階段課程的學習範圍，是等差數列和等比數列及其求和法的一些例子，而"å "符號的應用一般會在附加數學課程教授。本課程不但提供機會讓具數學潛質的資優學生建構出新知識，並可滿足他們對數學解難的渴求，提升這些學生的思考、推理、探索能力；同時在協作的過程中，亦能培養出學生包容和接納別人的態度。
對象：中一至中三年級具數學潛質的資優學生
目標：
- 讓學生用猜測、驗證和歸納等方法，找出首 n 個自然數之和、平方和及立方和的公式。
- 學生運用已掌握的知識（即首 n 個自然數之和、平方和及立方和的公式）去解決問題。
- 提升學生的高層次思維技巧，並提供機會讓學生自創一些具啟發性的題目。
- 鼓勵學生利用數學思考方法去解決日常生活中遇到的難題。
- 培養學生包容和接納的態度。
學與教過程：
- 教師由淺入深將課程分成三個相聯繫但程度漸進的課節。內容包括「首 n 個自然數之和」、「首 n 個自然數之平方和及立方和」與「延伸課程」。
- 以一道難題 u打開我的儲物櫃」來引發學生的學習動機，再引導學生自行從規律中歸納出「首n個自然數之和」的公式：1 + 2 + 3 + … + n
，並利用小組協作的模式，要求學生想出一些策略去解答由「首 n 個自然數之和」公式變化出來的題目 [（例如：若x = 1 + 2 + 3 + … + (n - 1)，求 x）]，然後向全班匯報。 - 學生對以上公式的應用有一定的掌握後，教師再給他們一些具挑戰性的難題，包括策略思考、數學上的應用及日常生活的應用（例如：邊數為 n 之凸多邊形對角線數目
），讓他們有更多思考、求變及創新的空間，增強他們的數學思考能力及解題能力。 - 以小組討論方式，讓學生從自創的題目中推選出優異作品，再由獲選作品的創作者向全班介紹其作品的構思，以作表揚。
- 由對正方形數的思考開始，教師引導學生學習「首n個自然數之平方和」的公式：
。然後以小組協作模式，讓學生應用此公式去解決問題，包括求證圓錐體體積的公式（圓錐體體積
）。 - 以一些有規律的題目引導學生觀察及思考，從而發現當中的規律{例如：13 + 23 + 33 = 62 ，而 1 + 2 + 3 = 6；因此，可能 13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + 2 + 3 + … + n)2}，並讓學生運用其較強的邏輯推理能力推敲出「首 n 個自然數之立方和」的公式：
。 - 教師向學生引進一種新的數學表達方式 -- "å"，如：
，讓他們透過練習使用 "å" 符號，從而發現使用 "å" 符號的好處。之後教師讓學生再次以小組協作方式用另一個方法去導出「首n個自然數之平方和」公式。 - 學生進行小組討論，分享自己如何導出活動 (4) 及 (6) 所要求的「首 n 個自然數之平方和」公式。
- 最後教師以一項名為「挑戰難度的考驗」活動，激發學生的成就動機，讓他們嘗試解開「金字塔內所有數字總和」的難題。學生需要細心觀察，才能找出當中數字分佈的規律（例如：數字的分佈為左右對稱）；更需要精密的思考技巧才能想出解開難題的策略（例如：1 可寫成 12 × 1＝ 13，2＋4＋2 可寫成 22 × 2 ＝ 23），之後便求得「金字塔內所有數字總和」的算式。學生運用簡化方法，最後會發現這是導出「首n個自然數之立方和」公式的另一個方法。
學習成效：
- 在整個學與教的過程中，教師對思考過程、解難方法與尋找問題的答案同樣重視。活動特色在於讓學生積極參與，誘發學生自學協作的精神，使學生樂於嘗試，勇於面對挑戰，並敢於創新，在不同的數學思考活動中樂而忘返，並在教師由淺入深的引導下自行推敲出以下三個公式：
「首 n 個自然數之和」公式：1 + 2 + 3 + … + n、
「首 n 個自然數之平方和」公式：與及
「首 n 個自然數之立方和」公式：，並將之應用到日常生活中和數學方面，以解開不同難度的數學題目，包括「打開我的儲物櫃」和「金字塔內所有數字的總和」。
- 該課程的學習成效較為顯著。課程擴闊了具數學潛質的資優學生的視野和思考空間，使他們能跨越第三學習階段的課程，展現自己在數學方面的才華。由學生創作的數學難題及其破解方法的深度及難度反映出學生對這個課程的數學活動具濃厚興趣。學生的習作不但富創造力，而且能提出多種不同的解決方法，還能靈活運用 "å" 符號來精簡運算表達，顯示他們能將數學知識「內化」和「轉移」，學生對數學的認知能力和高層次思維得以大大提升。另外，學生經常要協作學習及進行小組討論，並要將自己解決問題的方法向全班匯報，透過這些互相觀摩的活動，擦出不少火花，引進了不少新的數學思維，激發起他們精益求精的積極學習態度，努力創作出難度更高的題目來考驗同儕，發揮自己的數學才華。除此之外，他們也從中學會表達自己，細心聆聽，欣賞和接納別人等溝通技巧，增強個人及社交能力，促進個人成長。
